Alexandre Gelfond

Paris, août 1900. C’est le deuxième congrès international des mathématiciens¹. L’événement marquant de la rencontre: la conférence du célèbre mathématicien allemand, David Hilbert². Ce dernier présente à ses collègues une liste de 23 problèmes³ qu’il considère comme étant les problèmes les plus importants à résoudre au tournant du siècle. La course aux solutions est ouverte et marquera la recherche mathématique du 20e siècle.

Parmi la liste de Hilbert, le septième problème⁴ est résolu en 1934 par le mathématicien russe Alexandre Gelfond. Ce résultat permet évidemment à ce jeune mathématicien de passer alors à l’histoire.

Alexandre Gelfond est né en 1906 à Saint-Pétersbourg. Il entreprend des études en 1924 à la faculté de physique et de mathématiques de l’Université d’état de Moscou⁵  et obtient son diplôme de premier cycle en 1927. Il poursuit ses études en mathématiques et complète son doctorat en 1930, sous la direction d’Alexandre Khinchin⁶ et de Vladislav Stepanov.

Gelfond enseigne par la suite au Collège Technologique de Moscou mais il poursuit surtout ses recherches en théorie des nombres, obtenant rapidement des résultats remarquables et importants. Après un séjour de quatre mois en Allemagne, en 1930 — séjour durant lequel il rencontre Hilbert—, il obtient un poste à l’Université d’État de Moscou. À partir de 1933, il enseigne à l’Institut de mathématiques⁷ de l’Académie des sciences de Russie⁸…

Mais revenons au septième problème de Hilbert. Pour le comprendre, il faut introduire certaines notions de théorie des nombres. Rappelons tout d’abord ce qu’est une équation polynomiale à coefficients rationnels.

Considérez l’expression suivante:

x² + 1 = 0

La solution de cette équation est un nombre qui, lorsqu’il est multiplié par lui-même. donne le nombre -1. Ce nombre est donc la racine carrée de -1 (√-1), un nombre complexe ⁹ parfois noté par la lettre i.

Un nombre qui est la solution à une équation polynomiale à coefficients rationnels est appelé un nombre algébrique¹⁰. Un nombre qui n’est la solution à aucune équation polynomiale à coefficients rationnels est un nombre transcendant¹¹.

Le nombre π est un nombre transcendant. C’est aussi un nombre irrationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut s’exprimer sous la forme de m/n, où m est un nombre entier et n est un entier positif différent de 0.

Le septième problème de Hilbert s’énonce alors ainsi:

Supposons que a est un nombre algébrique différent de 0 et de 1 et supposons que b est un nombre algébrique irrationnel, le nombre a^b est-il transcendant?

La réponse de Gelfond est positive et le résultat s’appelle maintenant le théorème de Gelfond¹².

Domaine public

Alexandre Gelfond est mort le 7 novembre 1968. Son œuvre tombe donc dans le domaine public canadien le 1er janvier 2019. Il a laissé derrière lui plusieurs livres et articles scientifiques.

Sources et références

• Wikipédia (fr): Alexandre Gelfond
• Wikipédia (en): Alexandre Gelfond

1. Le premier congrès international des mathématiciens s’est tenu à Zurich en 1897. Source: Wikipedia (fr).
2. David Hilbert (1862-1943) est souvent considéré comme l’un des plus grands mathématiciens du XXe siècle. Avec ses étudiants, il a fourni une portion significative de l’infrastructure mathématique nécessaire à l’éclosion de la mécanique quantique et de la relativité générale. Source: Wikipedia (fr).
3. Voir la liste complète sur Wikipedia (fr).
4. Le septième problème de Hilbert concerne l’irrationalité et la transcendance de certains nombres. Source: Wikipedia (fr).
5. L’université d’État Lomonossov de Moscou a été fondée en 1755. Depuis 1953, la plupart des facultés de l’université sont installées dans une tour de 33 étages érigée sur ordre de Staline. Source: Wikipedia (fr).
6. Alexandre Khinchin a passé sa vie à étudier puis enseigner à l’Université d’état de Moscou. Il est principalement connu pour son travail sur la théorie des probabilités.
7. L’Institut de mathématiques Steklov a été fondé à Léningrad (aujourd’hui Saint-Pétersbourg) en avril 1934. Devant l’avance de l’armée allemande, l’institut a été déplacé à Moscou en 1940.
8. Voir Académie des sciences de Russie sur Wikipedia (fr).
9. En mathématiques, l’ensemble des nombre complexe est créé comme extension de l’ensemble des nombres réels, contenant en particulier le nombre imaginaire noté i tel que i² = −1. Introduits au XVIe siècle, les nombres complexes sont utilisés notamment en algèbre, en analyse et en physique.
10. Wikipedia (fr): Nombre algébrique.
11. Wikipedia (fr): Nombre transcendant.
12. Ou, plus précisément, théorème de Gelfond-Schneider. Source: Wikipedia (fr)

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